Нет, это ошибка. Правильно: одолжи мне сто рублей.

Это форма дательного падежа числительного, и это не ошибка, а следы употребления, когда-то широко распространенного, а ныне воспринимаемого как устаревшее. Числительные от пяти до десяти, числительные на -надцать, -дцать, -десят, а также сорок и сто могли употребляться в форме как винительного, так и дательного падежей после предлога по в составе конструкции с т. н. распределительным значением: раздали по двадцать рублей и раздали по двадцати рублей (ср. у Ф. М. Достоевского в «Братьях Карамазовых»: Иван Федорович подарил всем по десяти рублей). Употребление формы дательного падежа в составе этой конструкции частотно в текстах XVIII и XIX века, но в течение XX века постепенно сошло на нет. Однако существительные в составе этой конструкции и сейчас употребляются в форме именно дательного падежа (у всех по рублю). Поэтому те числовые обозначения, которые грамматически являются существительными (тысяча, миллион, миллиард), принимают в этой конструкции форму дательного падежа: у каждого по тысяче, по миллиону, по миллиарду.

Отсутствие запятой не ошибка. По правилам запятая в сложносочиненном предложении с одиночным союзом и не ставится, если части сложносочиненного предложения имеют общую, поясняемую ими, часть сложного предложения.

В выражении Быть добру, здоровья всем! есть разве что некоторая стилистическая шероховатость, однако грамматической ошибки нет. Оно представляет собой свернутую конструкцию пожелания: [Желаем] быть добру и [желаем] здоровья всем.

Предложение корректно.

В «Большом толковом словаре правильной русской речи» Л. И. Скворцова выражение один за одним определяется как давняя ошибка, искажающая правильное один за другим. Скворцов пишет, что эта ошибка возникает под влиянием диалектного словоупотребления, а также по аналогии с такими оборотами, как друг за другом, один к одному.

Необходимо, однако, отметить, что выражение один за одним встречается у М. Ю. Лермонтова, И. С. Тургенева, Л. Н. Толстого, А. И. Герцена, М. Е. Салтыкова-Щедрина, Н. С. Лескова, И. А. Бунина, М. М. Пришвина, К. И. Чуковского, Ю. В. Трифонова и многих других писателей. Сложно после этого сказать, что такой оборот недопустим в бытовом употреблении.

Правильно: в мэрии города Москвы. Географическое название, употребленное с родовыми наименованиями город, село, деревня, хутор, река и др., выступающее в функции приложения, согласуется с определяемым словом, то есть склоняется, если топоним русского, славянского происхождения или представляет собой давно заимствованное и освоенное наименование.

Оба варианта (остёр как бритва и остр как бритва) возможны. Однако Большой универсальный словарь русского языка рекомендует в значении 'такой, у к-рого колющий конец или режущий край, а также хорошо наточенный, отточенный' использовать форму остр.

Лучше говорить о занятиях / встречах / консультациях и иных формах учебной работы по программе или в рамках программы.

Во втором ряду слово отыграться образовано суффиксальным (постфиксальным) способом от отыграть. Слово современный содержит приставку со-, оно образовано приставочно-суффиксальным способом. Сложности возникают со словом бессмыслица. Автор тестового задания трактует это слово как образованное приставочно-суффиксальным способом по образцу слов бескормица (от корм), беспутица (от путь). Такое решение вполне обоснованно. В «Словообразовательном словаре русского языка» А. Н. Тихонова это слово действительно определяется как образованное суффиксальным способом от бессмысленный. Это решение, на наш взгляд, не имеет преимуществ перед вышеупомянутым. Но следует согласиться с тем, что авторам тестовых заданий следует использовать только те слова, которые не допускают различных интерпретаций при анализе.