Правильно: Я живу в Сивцевом Вражке.
Сокращение до инициала допустимо, но не является общепринятым.
Причастие и деепричастие - это разные части речи (или, иначе, разные глагольные формы). О различиях между причастием и деепричастием можно прочитать в учебном пособии Е. И. Литневской на нашем портале: http://www.gramota.ru/book/litnevskaya.php?part4.htm#i7 (Нужно пролистать страницу до разделов "Причастие" и "Деепричастие").
Не только сократилось, но и дополнилось разговорным (и уменьшительным) суффиксом -ик.
В этом случае верно без кавычек: Мы не прощаемся, а говорим: до свидания!
Следует писать раздельно. Глагол доставать в данном случае используется в значении "касаться, дотрагиваться, дотягиваться до чего-то, находящегося на расстоянии".
Запятая не требуется.
Возможны оба варианта, но они различаются по значению. На квартире говорят, когда имеют в виду съемное или временное жилье, например: Жил у тетки на квартире.
