Оба варианта правильны. При наличии в количественно-именном сочетании слова несколько возможна постановка сказуемого как в форму единственного, так и в форму множественного числа.
Если в состав подлежащего входит слово, обозначающее неопределенное множество (много, немного, мало, несколько и т. п.), то сказуемое чаще употребляется в единственном числе: Сколько звездочек упало? Однако в наше время нормативной стала и форма множественного числа сказуемого при таких оборотах (согласование по смыслу), которая подчеркивает активное действие и относится к подлежащему со значением лица: Несколько классов пришли/пришло мне на помощь.
Лучше: проходит несколько дней.
Относящееся к одушевленным существительным числительное несколько в форме винительного падежа имеет две формы: несколько и нескольких.
Оба варианта корректны.
Оба варианта возможны, но более употребительно согласование в ед. ч.
