Нет, и в этом случае нужны кавычки, название не склоняется. Правильно так: директор ГБОУ «Школа № 11111 "Знайка"».
Название при словах городской округ обычно не склоняется: городского округа город Михайловка. Закрепившееся несклонение можно объяснить тем, что подобные сочетания с обозначением типа муниципального образования характерны исключительно для официальных документов, для канцелярско-бюрократического языка (невозможно представить себе в живой речи что-то типа Живу в городском округе город Михайловка). А в канцелярских текстах несклонение топонимов в функции приложения очень распространено.
Запятая не нужна: в школе так в школе.
Корректен вариант школа номер тысяча восемьсот одиннадцать. Более полный вариант словесной записи и произношения числительного (одна тысяча) используется лишь при особой необходимости, во избежание ошибки (например, в финансовых документах). Произносить школа восемнадцать одиннадцать на официальных мероприятиях некорректно, такой вариант грешит сугубой разговорностью.
Корректно со строчной: 22-я школа воздушных стрелков-радистов.
Корректно: в лицее "Бауманский", в Бауманском лицее.
Употребительнее: окончил школу.
Вершининская средняя общеобразовательная школа – реальное собственное имя (не условное наименование). Такие имена собственные пишутся без кавычек, например: Вершининская средняя общеобразовательная школа основана в ... году. Однако если реальные собственные имена употребляются в сочетании с родовым наименованием (чаще всего – обозначением организационно-правовой формы), они заключаются в кавычки. Правильно: МОУ «Вершининская средняя общеобразовательная школа». См. подробно в «Письмовнике»: Как правильно употреблять кавычки (часть вторая).
