Для точного ответа нужно знать контекст. Вне контекста лучше: идея подарка.
Первая часть сложных слов бизнес- присоединяется дефисом: бизнес-идея.
Правильно: идея кого-чего.
Теоретически можно, но зачем? Если говорить о передаче произношения, написание через е ничуть не более логично, чем написание через и: звук, который произносится здесь в первом слоге, в разных словах русского языка может передаваться как буквой е, так и буквой и — это равноправные графические возможности. Но написание буквы и в существительном ритуал обусловлено историей слова: оно пришло из французского или немецкого языка и восходит к латыни: фр. rituel, нем. Ritual от лат. rītuālis «обрядовый». Написание же в этом слове буквы е не будет мотивировано ничем.
Хорошо, что есть на свете камень, глина и песок ! Хорошо, что есть на свете клещи, гвозди, молоток!
Правильно: Аристотелева идея.
