Это слово испытывало колебания в написании, когда осваивалось в языке. Но это было давно. Сейчас правильно только карате. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.
Нормативно: в Гагре. В ряде источников также в Гаграх.
Правильно: управляющий клубами.
Помета чего означает, что слово в этом значении управляет родительным падежом зависимого слова. Далее в словаре приводится пример употребления: патриот (чего?) своего завода.
Корректно: какой город достоин звания...
Верно: предусмотрено несколько практичных карманов.
Это сокращение от информационный тур? Верно слитное написание. Сложносокращенные слова пишутся слитно.
Верен первый вариант. Лучше: президентские выборы 1980 года в США.
Верны оба варианта.
В каком контексте, стиле, жанре?