Правильно слитно (см. в окне «Искать на Грамоте» медиа*).
Род этой аббревиатуры пока неустойчив:
Словарь трудностей русского языка
БРИКС [брикс], нескл., ж. — группа из пяти стран: Бразилия, Россия, Индия, Китай, Южно-Африканская Республика.
БРИКС [брикс], нескл., ср. — Бразилия, Россия, Индия, Китай, Южно-Африканская Республика — обобщённое наименование группы стран с быстрорастущей экономикой.
Корректно слитное написание.
См. в окне «Искать на Грамоте».
В первом случае корректно со строчной. Во втором примере правильно писать с прописной, если имеется в виду Запад 'страны Западной Европы и Америки' и Восток 'страны Азии'.
Корректно написание со строчной без кавычек: дети индиго.
Это так называемое эллиптическое предложение (самостоятельно употребляемое предложение с отсутствующим сказуемым). В таких предложениях при наличии паузы ставится тире, при отсутствии паузы знак не нужен.
Да, это имя склоняется. Индианой Джонсом – корректно.
Ответ на вопрос дают наши электронные словари. Просто наберите приведенные слова в окне «Искать на Грамоте».