Можно написать: желает не верить, не желает верить.
См. ответ на вопрос № 269841.
В статье, на которую Вы ссылаетесь, этот факт объяснен: "В декабре 1906 года Распутин подает прошение на высочайшее имя об изменении своей фамилии на Распутин-Новых, ссылаясь на то, что многие его односельчане носят ту же фамилию, из-за чего могут быть недоразумения. Прошение было удовлетворено (Варламов А. Н. [tululu.org/read14005/ Григорий Распутин-Новый]. — М.: Молодая гвардия, 2007. — 851 с. — (ЖЗЛ). — ISBN 978-5-235-02956-9).
Правильно: Страшный суд. См.: Лопатин В. В., Нечаева И. В., Чельцова Л. К. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2011.
Повтором можно считать такое сочетание: суп дня... каждый день. Но грубой ошибки нет.
Можно признать, провозгласить, утвердить приоритет.
Следует поставить двоеточие: Я начинаю верить: вернется весна...
Корректен второй вариант.