Пшенный и пшено - однокоренные слова. Пшеница и пшено - этимологически родственные слова.
Форма творительного падежа от названия города Балашова: Балашовом. В русском языке существует правило, согласно которому топонимы на -ов, -ев-, -ин, -ын, -ово, -ево, -ино, -ыно в творительном падеже имеют окончание -ом — в отличие от имеющих те же финали фамилий славянского происхождения, которые в творительном падеже получают окончание -ым: под городом Балашовом — с Иваном Балашовым.
Предпочтительно: лучшему дуэту пианиста и певца. Или (хуже) так: лучшему дуэту "пианист – певец".
Здесь уместна форма ед. ч. сказуемого.
Все эти наименования корректны.
Правильно с прописной: это Сашина (Лилина, Петина) шляпа.
С исторической точки зрения это однокоренные слова.
