Правильно: за городом.
Правильно: пойти за молоком.
Вариант за водой общеупотребительный и стилистически нейтральный, вариант по воду уместен в народно-поэтической речи.
Оба варианта корректны. Первый общеупотребительный, второй - народно-поэтический.
Запятую можно не ставить, если считать эту фразу цельным по смыслу выражением, эквивалентом фразы "ходит везде, всюду".
Да, склоняется как существительное второго склонения м. р.: Цабека, Цабеку и т. д.
Мы не занимаемся переводами.
Правильно: северодвинец.
В этом предложении союз да можно заменить как на союз и, так и на союз но. Поэтому возможны варианты пунктуации. Однако чаще запятую ставят, обозначая противительные отношения между однородными членами.
Корректно слитное написание. Ср.: автомотоклуб.
