Верен второй вариант, поскольку речь идет о неодушевленных предметах.

Правильно: репетитор по какому-либо предмету: репетитор по английскому языку.

Правильно (если речь идет о школьном предмете): учитель труда.  

См. в «Письмовнике».

Бампер, чехол и кейс для смартфона - это разные предметы.

Предпочтительно: не оставляйте чашки (пакеты), так как речь идет о конкретных предметах.

Да, так сказать можно. Собирательные числительные сочетаются с существительными, называющими парные предметы.

Ответить на Ваш вопрос мы попросили д. ф. н. М. Я. Дымарского.

В русском языке широко распространена разновидность предложений, сообщающих о существовании кого-л. или чего-л. в виде информации о локализации предмета. В таких предложениях составные именные сказуемые в качестве именного компонента могут включать наречия или формы косвенных падежей с предлогами: (Где у нас Маша?) Маша в саду; (в фильме «Берегись автомобиля»:) Юра, я здесь! (реплика его мамы во время спектакля); (А вы где были?) Я был за углом и т. п. Глагол быть в таких предложениях используется как раз не в своем основном лексическом значения существования, а в качестве формальной связки, которая неизбежно появляется, если основной смысловой компонент сказуемого не является глаголом. В настоящем времени формальная связка имеет нулевую форму, чего как раз нельзя сказать о полнозначном бытийном глаголе быть (ср.: У нас есть еще немного времени, давайте пройдемся). Поэтому предложение Друзья рядом отнюдь не неполное (ведь никакой неполноты и не ощущается!).

Фраза И там я был у Пушкина не является предложением локализации, в ней глагол быть действительно использован в своем основном лексическом значении. Но не случайно в ней и порядок слов совершенно иной.

Фраза из Толстого похожа на приведенную в начале вопроса, хотя там более сложно устроенное сказуемое.

Речь идет не о парных предметах, поэтому верно: два года без отпуска подошли к концу.

Эта функция состоит в том, что средствами языка можно именовать (назвать, обозначить) предметы действительности.