Правильно раздельное написание: верить на слово.

См. статью в Письмовнике.

Запятая перед союзом и в данном предложении не нужна, так как он соединяет два однородных сказуемых — является актуальным и не менялся. 

Правилен первый вариант, где употребляется отрицательная частица не. Она выражает полное отрицание того, что обозначает слово или сочетание, перед которым она стоит. 

Частица ни усиливает или абсолютизирует отрицание. Она становится союзом, соединяя однородные члены, относящиеся к слову с отрицанием не или слову нет, которое может быть опущено, например: Он не боится ни воды, ни ветра. Ему нельзя ни пить, ни курить. Ах, я не верю ничему: ни снам, ни сладким увереньям, ни даже сердцу твоему (Пушкин). Ни до, ни после такого не видывал (никогда). Этого не знает ни стар, ни млад (никто). Нет ни сил, ни желаний. И нет ни декора вокруг дома, ни новых клумб, ни фигурок лебедей. На небе ни месяца, ни звезд. Ни уму, ни сердцу.

Устроилась в детский сад, но по своей специальности проработала недолго. Так как дальнейшей перспективы не было, перешла на химзавод.

Мы не выполняем домашние задания, но можем подсказать, что для определения синтаксической роли фразеологизма нужно помнить: фразеологизм — это один член предложения, к нему нужно задать вопрос от слова, к которому он относится, например: бежала (как?) сломя голову, фразеологизм является обстоятельством. 

Личные имена, как правило, ограниченно образуют формы мн. ч. Имя Кузьма - не исключение: регулярных форм мн. ч. нет, но если такую форму по каким-то причинам нужно образовать, то она будет аналогичной формам других слов первого школьного склонения (таких, как жена, сестра, тесьма и т. п.).

Запятая нужна. Слово думаю в этом случае вводное, оно указывает на неуверенность автора (говорящего) в сообщаемом.

Запятая нужна.

Склонение зависит от происхождения фамилии.

Несклоняемы фамилии французского происхождения: Дюма, Тома, Дега, Люка, Ферма, Гамарра, Петипа и др.

Фамилии иного происхождения (славянские, из восточных языков) склоняются по первому склонению, т. е. в них вычленяется ударное окончание -а: Митта — Митты, Митте, Митту, Миттой; сюда относятся: Сковорода, Кочерга, Кваша, Цадаса, Хамза и др.