Правильно: ознакомление под подпись. 

Слова подпись и роспись — паронимы, поэтому их смешение в речи встречается достаточно часто. Например, ошибочны выражения: "Поставьте свою роспись"; "Это ваша роспись на справке?". Поскольку значение существительного роспись — 'живопись на стенах, потолках, предметах быта и т. п.' или 'действие по глаголу расписать' (в значении 'записать в разные места': расписать примеры на карточки)]. Эти значения закреплены в толковых словарях русского языка. Здесь же разъясняются и значения слова подпись: 1. Действие по глаголу подписать (в значениии 'подтвердить, заверить, поставить подпись') 2. Надпись под чем-нибудь (подпись под картиной) 3. Собственноручно написанная фамилия (поставить свою подпись).

С большой буквы пишется только первое слово: Старый город. Это указано в орфографическом словаре РАН.

Такое слово и правда существует.

Обратите внимание на формулировку: «чаще всего». Действительно, фамилии, совпадающие с нарицательными существительными, личными именами и географическими названиями, часто не склоняются: у их носителей, да и у редакторов (корректоров) текстов возникает желание не склонять подобные фамилии, чтобы отличить их от соответствующих нарицательных слов, имен или топонимов. Однако можно говорить лишь о допустимости несклонения этих фамилий, поскольку грамматическая норма русского языка требует такие фамилии склонять.

Склоняется как мужская, так и женская фамилия Гетта.

Правильно: запеченные.

Запятая нужна. Однако сама фраза стилистически небезупречна.

Слова с уважением в приведенном контексте не требуют обособления, но и ошибкой такое пунктуационное оформление считать нельзя (поскольку слова с уважением принято обособлять в деловой речи в заключительной части писем - в подписи).

Интерпретация этого предложения как простого исключена, потому что сказуемые писал, уехал, остался, переехал неоднородны: например, в ряд не вписывается первое из них. Это сложное предложение с бессоюзной и союзной сочинительной связью, состоящее из двух блоков: первый блок — первая часть, второй блок, раскрывающий содержание выражения разная информация в первой части, — все остальное. Во втором блоке три части, связанных разделительным союзом, все три части неполные (с опущенным подлежащим).

Можно ли второй блок считать одной частью с однородными сказуемыми? Можно, но такая интерпретация хуже по той причине, что каждое повторение союза вводит принципиальную иную ситуацию. Обычные же однородные сказуемые описывают одну и ту же ситуацию: Вася сидит в кресле и читает.
 

Это педагогическое творчество, но вполне удачное (т. е. понятное ученику).