Очевидно, тире поставлено потому, что сказуемое выражено сочетанием с числительным (не более 3 м). При этом в справочниках имеется примечание, что «в специальной литературе при характеристике предмета тире в этом случае часто не ставится».

Такое наречие в словарях пока не зафиксировано, но оно подпадает под следующее правило: пишутся слитно наречия, образованные от имен прилагательных с помощью одновременного присоединения приставки и суффикса -ую. Ср.: вживую, вкрутую, внаглую, вплотную, впрямую, врассыпную, врукопашную, вручную, втихую, вхолостую, вчистую, зачастую, надаровую, напрямую, наудалую, подчистую. Исключения: в открытую, в штыковую, на боковую, на мировую, на попятную, ни в какую.

Раздельное написание в закрытую может появляться под влиянием сочетания в открытую, которое является частю фразеологического выражения играть в открытую, восходящего к терминам карточной игры. Однако в открытую относится к другому правилу: пишутся раздельно наречные сочетания предлогов-приставок в, с со второй частью, начинающейся с гласной, напр.: в обмен, в обнимку, в обрез, в обтяжку, в обхват, в одиночку, в одночасье, в отместку, в охапку, в охотку, в убыток, в угоду, в укор, в упор, в упрёк, в открытую, в общем, в основном, в оба, с иголочки, с изнанки, с оглядкой, с опаской, с отвычки, с охотой, с умом, с умыслом.

Вы правы, слово царь не является исконно русским.

Следует писать слитно: Также обучаем...

Деепричастие имеет "деепричастное" значение. Нужно обособить.

Дело в том, что всех спортсменов – участников Олимпийских игр (и зимних, и летних) принято называть атлетами. Связано это с тем, что участников состязаний в силе и ловкости называли атлетами в Древней Греции, на родине Олимпийских игр. Вне олимпийского контекста слово атлет употребляется в значениях «спортсмен, занимающийся атлетической гимнастикой, атлетикой», «цирковой артист, выступающий с силовыми упражнениями» и «человек с крепким широкоплечим телосложением, развитой мускулатурой и большой физической силой».

В таком употреблении слово наоборот является частицей:

наоборот

Большой универсальный словарь русского языка

НАОБОРОТ³, част.

● Употр. в начале реплики для указания на то, что говорящий совершенно не согласен с собеседником, оценивает нечто прямо противоположным образом.   Син. напротив⁴, <вовсе нет>. Вам нездоровится? – Н., я прекрасно себя чувствую. || Морф. на=оборот. Дер. От нареч. наоборот¹ (См.).

Правилен второй вариант. Аналогичные примеры можно найти в «Письмовнике».