Нет, длительно не является наречием меры и степени — оно обозначает продолжительность действия и в предложении является обстоятельством времени. Поэтому верно раздельное написание: Это состояние может развиться у людей преклонного возраста с длительно не леченным гипотериозом. Обратите внимание: в слове ле́ченный ударение падает на первый слог и не пишется буква ё. 

Тем не менее — частица, не требует постановки знаков препинания.

Традиционно при описании движений головы в ситуации, когда человек выражает свое несогласие с чем-либо или с кем-либо, используют обороты с глаголом мотать: он отрицательно мотал головой, она опровергающе замотала головой. 

Можно опираться на словарные толкования, например, на нашем портале, см.: менеджер и менеджмент. В дополнение можно воспользоваться словарями иностранных слов на портале «Словари.ру». Также полезно обратить внимание на то, что специальность — это область знания, название специальности часто не совпадает с названием профессии и квалификации, ср.: астрономия — астроном; перевод и переводоведение — лингвист-переводчик; фундаментальная и прикладная химия — химик, филология — учитель русского языка и литературы.

В таком случае слово критических должно быть выделено тире с двух сторон.

Какого-то правила или объяснения на этот счет нет. Обычно говорят, что «так исторически сложилось».

Выражение наше всё используется только в среднем роде. Поэтому в первом случае можно написать так: Песня в исполнении «нашего всего» — Аллы Борисовны. Второй пример выглядит некорректным в любом варианте, предложение лучше так не строить.

Замечание справедливо. В предложении ошибка в употреблении деепричастного оборота. 

1. Глагол молчать относится ко II спряжению: у него личные окончания ударные, поэтому спряжение определяется не по инфинитиву, а по гласным в личных окончаниях (молчишь, молчит, молчим). Так что суффикс -ащ- вполне закономерен. 

2. Форма тащащий — от глагола II спряжения тащить. От глагола I спряжения таскать образуется действительное причастие настоящего времени таскающий (к основе тоска- прибавляется -ющ-). 

Когда речь идет об оттенках цвета, сложные слова образуются с ё: зелёно-карий. Сложные слова, которые образованы от названий цветов и существительных, пишутся с е: зеленозубый. Словари содержат достаточное количество примеров для обеих моделей.