Орфографически правильно: Каймановы Острова. В соответствии с Общероссийским классификатором стран мира название страны – Острова Кайман.
А разве есть такой орден? Если есть, то нужно посмотреть написание в учредительных документах ордена.
1. Требуется одно тире: стран -- участниц переговоров.
2. Корректно: г.
3. Лучше: туристический обмен.
Принято говорить: видеть на экране, на мониторе (но в разговорной речи: уставиться в экран, в монитор).
В значении 'административный орган какого-либо учреждения, предприятия и т. п.' правильно: управление чего: управление метрополитена.
Употребление слова центр в значении 'высший руководящий орган, центральная власть' не требует прописной буквы. Корректно со строчной.
Форма фамилии зависит от контекста, а именно от того, с какими словами (например, братья, семья, Джон и Мэри) эта фамилия употребляется. Подробнее читайте в "Письмовнике" (пункт 13.1.4).
Прилагательные, образованные от названий городов, стран, континентов и т. п. пишутся с маленькой буквы: томские, российские, европейские ученые.
