Управление намек о ком-либо, чем-либо отмечено в справочниках как устаревшее. Правильно: намек на коррупцию.
Можно: найти в «Википедии», поставить крест на «Википедии».
Употребительно сочетание в подкасте (ср.: в эфире, в выпуске, в программе).
Для ответа на этот вопрос необходимо знать контекст.
Слова грамота и грамматика пишутся по-разному, потому что пришли в русский язык в разное время и разными путями. Грамота – это очень старое заимствование из греческого языка. В греческом было слово gramma, означавшее «письменный знак», «буква». У этого слова была форма множественного числа grammata – то есть «буквы», «письмо». Вот это форма и стала нашей грамотой: мы немного изменили греческое слово на свой лад. А слово грамматика пришло к нам намного позже, в XVIII веке, из латинского языка. Оно тоже, конечно же, восходит к греческим словам grammata, grammatike, но в латинском языке сохранились две буквы «м».
Верно: обязанности по оформлению документации.
Верно: контроль над ЖКХ.
Обратите внимание, что вне контекста это сочетание не передает указанного Вами смысла, требуется пояснение в тексте.
