Согласно словарю «Управление в русском языке», гласная о добавляется к предлогу к в следующих случаях:
1) перед односложными словами, начинающимися со стечения согласных: ко дну (ср. к дневнику), ко лбу; ср. также: ко многому, ко многим;
2) перед словами весь, всякий: ко всему, ко всякому;
3) в отдельных выражениях: (быть, прийтись) ко двору, не ко двору. 

Поэтому верно: к 100-летию, к столетию.

Одна согласная буква вместо двойной согласной пишется только в уменьшительных и фамильярных формах личных имен с суффиксом -к(а), например: Алла – Алка, Жанна – Жанка, Элла – Элка, Кирилл – Кирилка  и т. д. В ласкательных формах имен на -очка, -ушка двойные согласные сохраняются: Аллочка, Эллочка, Жанночка, Аннушка, Кириллушка. Что касается уменьшительной формы Анечка, то она образована не от Анна, а от Аня, поэтому двойной согласной здесь взяться просто неоткуда.

Большой универсальный словарь русского языка

АКТУАЛЬН|ЫЙ, кратк. ф. м. актуален, кач., IV а.

Такой, к-рый имеет существенное значение для данного момента, данного положения, соответствует запросам современности.   Син. <злободневный, животрепещущий>. Ант. <неактуальный>.

А. вопрос (проблема, статья, тема, исследование …). Актуален для науки (для нас …). Весьма книжн. (наиболее …) актуальный. Представляться книжн. [кому-л.] … актуальным. □ Этот вопрос остаётся для нас актуальным.

Верно.

Пунктуация корректна, но с точки зрения стилистики фразу лучше разбить на несколько предложений.

В этом предложении при существительном Петербург имеется два приложения и одно согласованное определение, все вместе образующие ряд. Элементы этого ряда можно перечислить через запятую, а можно какую-то часть ряда отделить более сильным знаком тире, подчеркнув его самостоятельность:

...Петербурга, его родного города, любимого и жестокого, прототипа всех будущих городов;
...Петербурга — его родного города, любимого и жестокого, прототипа всех будущих городов;
...Петербурга, его родного города — любимого и жестокого, прототипа всех будущих городов (определение любимого и жестокого относится к родному городу);
...Петербурга, его родного города, — любимого и жестокого, прототипа всех будущих городов (определение любимого и жестокого относится к Петербургу).

Если поставить тире перед последним приложением, то сочетание согласованных определений нужно закрыть запятой:
...Петербурга, его родного города, любимого и жестокого, — прототипа всех будущих городов.

Слова мандарин 'фрукт' и мандарин 'китайский сановник' связаны друг с другом. Как указывают авторы этимологических словарей, значение мандарин 'китайский сановник' первично; восходит это слово к древнему индоевропейскому корню. А фрукт мандарин первоначально назывался «апельсин мандаринский» и, по всей видимости, получил такое название по высокому мандаринскому сану (возможно, этот вкусный, благородный, нарядный плод сравнивался с богатым, знатным человеком, мандарином). Интересно отметить, что в XIX веке у нас мандарины обычно называли корольками.

К грамматике это не имеет совершенно никакого отношения. Данный вопрос касается истории, этимологии, происхождения слов. Большинство слов русского языка, которые начинаются на букву А, действительно, пришли к нам из других языков. Тем не менее есть и исконно русские слова, начинающиеся на А, они являются преимущественно частицами или междометиями: абы, авось, ась, агу и т. п. Подробно и интересно об этом написано в книге Л. Успенского «Слово о словах».

Вы имеете в виду точку? Точка в Вашем примере нужна.