Обособление факультативно. Такие обстоятельственные обороты могут обособляться при необходимости их смыслового выделения.
Верный вариант расстановки знаков препинания: Наша забота привела к тому, что дом построили вовремя и, что очень важно, он обошёлся недорого. Вводное предложение что очень важно (употребляется для подчеркивания значимости какого-либо факта) выделяется с двух сторон запятыми; перед союзом и не ставится запятая, поскольку он соединяет две однородные придаточные части, зависящие от слова тому (союз что перед второй из них не повторяется).
Это означает, что знак препинания ставится по условиям контекста и по решению автора текста.
Согласно правилам пунктуации запятая ставится, т. к. деепричастие сохраняет глагольное значение: не отрекаются, любя = не отрекаются, когда любят.
Запятая не требуется. Деепричастие имеет значение обстоятельства образа действия (лечись как?) и не обособляется.
