Сказуемые не понимали и не пытались понять обозначают действия одного и того же субъекта. В придаточной части сложного предложения субъект не назван, но он известен и даже был назван ранее — мы. Поэтому следует квалифицировать придаточное предложение причины как содержащее однородные сказуемые.

Независимо от того, средствами какой графики записано предложение, оно остаётся английским предложением, в котором имеются все необходимые члены английского предложения. Искать в нем русские подлежащее, сказуемое и т. д. бессмысленно. С точки зрения грамматики русского языка это просто некая последовательность букв, не более.

Предложение сложноподчиненное с тремя однородными придаточными частями: (что много лет не чинил плетень вокруг сада и огорода), (что сломана калитка) и (что вообще немало дел). Знаки между ними ставятся так же, как при однородных членах, ср.: букет из лютиков, ромашек и васильков. 

Это сложное предложение, обе части которого неполные (в них отсуствует сказуемое) и при этом построены однотипно, то есть между ними наблюдается синтаксический параллелизм. В этом случае нужно тире в обеих частях: Временный лагерь — в магазине, коробка с награбленным — там же.

Согласимся с Вами: запятая не нужна. Если это предложение рассматривать как сложное, то части его, соединенные союзом и, следует охарактеризовать как номинативные предложения (компоненты в танце и в жизни являются определениями). В сложносочиненном предложении такой структуры запятая перед соединительным союзом не ставится. 

Предложение нуждается в изменении порядка слов: дополнение у родственников нужно поставить ближе, чем обстоятельство в квартире, к причастию приобретен: Пейзаж приобретен у родственников И. Э. Грабаря в квартире художника по Ломоносовскому проспекту в г. Москве. Обратите внимание, что приложение — название города склоняется.

Новый год пишется с прописной только как название праздника. В значении 'наступающий год; следующий год' правильно написание со строчной: С нового года эта услуга станет коммунальной.

Обратите внимание, что первое предложение построено некорректно. Верно: В настоящее время вывоз мусора является жилищной услугой. 

Предложение лучше перестроить. Например: Хотите узнать больше о нашем центре и его возможностях? или Хотите узнать больше о том, что представляет собой наш центр и что он может дать вашим детям? (запятая не ставится между однородными придаточными предложениями, соединенными неповторяющимся союзом и).