Предлог — сказуемое, производный — определение. Устойчивые сочетания равны одному слову, воспроизводятся в речи как цельные единицы и при синтаксическом разборе выделяются как один член предложения. К таким сочетаниям относятся, например, фразеологизмы — воспроизводимые сочетания слов, у которых лексическая самостоятельность одного или обоих компонентов ослаблена или утрачена. В нашем случае слово производный просто определяет тип предлога.

Возможен второй вариант. Или так: Он дал мне день - всего один день, чтобы...

В обоих ваших примерах имя собственное следует выделять запятыми.  

Спасибо! О новых диктантах (и любых других новых материалах «Грамоты.Ру») Вы можете узнавать из выпусков почтовой рассылки нашего портала.

При такой постановке знаков в предложении возникает сочетание самое интересное архитектурное сооружение усадьбы и регулярный парк, у которого устанавливаются отношения тождества с сочетанием дворец и грот. Едва ли всё это соответствует авторскому замыслу. Самым простым решением будет использование вставной конструкции, относящейся к одному из компонентов однородного ряда, в котором нужно оставить только один союз и: На обзорной экскурсии можно посетить дворец, грот (самое интересное архитектурное сооружение усадьбы) и регулярный парк.

Невозможно соблюсти указанные Вами условия и написать правильно. Корректный вариант: в страну и из нее.

Корректор неправ. Верно: одним миром мазаны. Так говорят о людях с одинаковыми недостатками: один не лучше другого. Выражение образовано от словосочетания мазать миром и восходит к церковным обрядам помазания. В выражении употребляется не слово мир  (и не слово мирра 'ароматическая смола'), а слово миро – специально приготовляемое благовонное масло, которым священники смачивают лбы верующих, чтобы благословить их и выделить среди других. Первоначальное значение оборота – 'одной веры'. Слово миро 'благовонное масло' пишется с одной буквой р.