В этом заголовке слово путешествуя совершенно точно является деепричастием: оно называет дополнительное действие по отношению к основному действию, названному глаголом жить. При этом есть правило, согласно которому деепричастный оборот не обособляется, если он тесно связан по содержанию со сказуемым и образует смысловой центр высказывания, например: Жили Артамоновы ни с кем не знакомясь (М. Г.), Старик шёл прихрамывая на правую ногу и т.  п. Однако заголовок Жить (,) путешествуя не представляет собой предложения, и оценить, образует ли деепричастие смысловой центр высказывания, здесь едва ли возможно. Это аргумент в пользу постановки запятой. Сравним пример предложения, в котором деепричастие играет особую коммуникативную роль и не обособляется: Это здорово — жить путешествуя!

Да, местоименное слово что в значении «который» может использоваться в придаточных определительных предложениях, относящихся к одушевленным существительным, например: Александр Романов, офицер, что был у вас дома и рассказывал о Фоме, снова арестован и сидит у нас... [Даниил Гранин. Зубр (1987)]; Соседка, что жила напротив и приходила поздно, горячилась больше всех [Юрий Трифонов. Дом на набережной (1976)]. Как и перед любым придаточным, запятая перед ним нужна.

См. также ответ на вопрос 315841.

В первой части предложения сравнительный оборот образует смысловой центр (смысл не в том, что полицмейстер заходит в лавки, а в том, как именно он это делает), а значит, тесно связан со сказуемым, что дает основание не обособлять его. Сравним примеры из Национального корпуса русского языка: Художники и гуманисты приходили к Козимо как к себе домой и чувствовали себя с ним совсем просто. [А. К. Дживелегов. Вазари и Италия (1933)] (здесь случай, подобный Вашему); А то я туда сунулся, как к себе домой, а там мужик какой-то незнакомый [А. Маринина. Не мешайте палачу (1996)] (смысловой центр первой части, важный для развития сюжета, образует сказуемое сунулся, оборот как к себе домой добавляет малосущественную характеристику).

Это примеры сложных синтаксических конструкций, в которых первая часть представляет собой так называемое эллиптическое предложение — самостоятельно употребляемое предложение с отсутствующим сказуемым, в данном случае с отсутствующей грамматической основой (дело) обстоит; сравнительный оборот (а сочетания с союзом как здесь, несомненно, имеют значение сравнения) тесно связан с грамматической основой, без него предложение не имеет законченного смысла, а потому оборот не обособляется, как в примере из пункта 4 параграфа 42.4 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя: На здешнем базаре как на любом базаре. После первой части нужно поставить двоеточие для выражения пояснительных отношений: В жизни как в шахматах: потерял королеву — наслаждайся пешками; В жизни как в игре: иногда нужно рисковать, чтобы достичь чего-то великого. 

Сочетание некорректно.

Это лексически избыточное сочетание.

Верно: кораллово-красные.

Оборот почти что употребляется, фиксируется словарями, но нужно учитывать, что он имеет разговорную стилистическую окраску. 

Это выражение корректно, но уместно только в разговорной речи.

Да, правильно написание с двумя дефисами: джек-рассел-терьер.