Орфографически верным было бы написание Общероссийский профсоюз образования: в названиях организаций с большой буквы пишется первое слово и входящие в состав названия имена собственные.  Однако в уставе организации второе слово названия тоже пишется с прописной. При оформлении документов название нужно писать в соответствии с тем, как оно зафиксировано в уставных документах.

Корректно: 1. Я живу в красивом, с богатой природой округе (сочетание согласованного и несогласованного определения). 2. Я живу в красивом округе, с богатой природой (определяемое слово уже имеет впереди стоящие согласованные определения) и  Я живу в красивом округе с богатой природой. 3. В городе живут хорошие, трудолюбивые люди (однородные определения).

Действительно, в данном случае запятая нужна. Сочетание нуждаются (,) как в воздухе не фразеологизм, здесь мы имеем дело с обычным сравнительным оборотом. Предложение Дети нуждаются в материнской любви само по себе выражает законченный смысл (сравнительный оборот лишь усиливает этот смысл), поэтому говорить о тесной связи оборота со сказуемым нуждаются также не приходится. 

Оборот с предлогом в качестве не требует обособления, если только он не имеет дополнительного обстоятельственного значения, например: В качестве крупнейшей в мире нефтедобывающей страны, Россия существенно влияет на рынок нефти (= «поскольку она крупнейшая в мире нефтедобывающая страна»), но В качестве крупнейшей в мире нефтедобывающей страны Россия известна уже давно.

Все названные прилагательные имеют значение ‘содержащийся в бочках’ и могут быть употреблены в контекстах типа бочечный / бочковый / бочковой квас. При этом прилагательное бочечный в указанном значении выходит из употребления, а в конкуренции бочковый / бочковой побеждает второй вариант. Об этом свидетельствуют и словари, и данные Национального корпуса русского языка.

Если перед сказуемым стоит отрицание не, то тире обычно не ставится: Офицер этот не чета вам; Бедность не порок; Аналогия не доказательство.

Постановка тире в этом случае имеет целью логически и интонационно подчеркнуть сказуемое: Но объяснение — не оправдание (М. Г.); Его взгляды на семейный этикет — не предрассудок ли это?

Оборот с как имеет причинное значение, поэтому должен быть выделен запятыми. Запятая перед и не ставится, если части вы... должны трудиться и вам необходимо понимать... являются по замыслу автора однородными. Если часть вам необходимо понимать... рассматривается автором как связанная с частью ...надо думать сочинительной связью, тогда запятая перед и нужна.

Если автор считает имя героини дополнительной, попутной информацией, то имя выделяется с двух сторон как поясняющее приложение: Главная героиня произведения, Олеся, — красивая и мудрая девушка. В ином случае сочетание главная героиня произведения является приложением при имени собственном и запятые не нужны: Главная героиня произведения Олеся — красивая и мудрая девушка.

Да, это название можно отнести к исключениям. В официальных составных названиях органов власти, уч­реждений, организаций, научных, учебных и зрелищных заведе­ний, обществ, политических партий и т.п. с прописной буквы пишется первое слово и входящие в состав названия имена собственные, а также первое слово включаемых в них названий других учреждений и организаций.

Мы предполагаем, что Вы имели в виду случай вроде река Енисей, когда название реки мужского рода. Выбор местоимения зависит от того, с родовым словом употребляется название реки или без него. С родовым словом верно: Мы вышли на реку Енисей. На ее берегах... Без родового слова верно: Мы вышли на Енисей. На его берегах...