Выбор варианта зависит от того, как построено все предложение.

Ударение остается на корне: из Керчи, к Керчи, в Керчи.

Запятая не ставится, если вчера относится к обоим простым предложениям в составе сложного (вчера он объелся клубники, вчера же у него началась аллергия). Но слово вчера может относиться только к первому предложению (например, клубнику он ел вчера, а аллергия началась сегодня). В этом случае запятая нужна.

Оборот со сравнительным союзом как не выделяется запятыми, если является устойчивым сочетанием. Трудолюбивый как пчела — устойчивое сочетание, поэтому запятая не требуется.

Мужская фамилия Роот склоняется, женская не склоняется.

Мужские фамилии, оканчивающиеся на согласную, безразлично — мягкую или твердую, склоняются (энциклопедия Брокгауза, поэзия Мицкевича, словарь написан Далем). Женские фамилии, оканчивающиеся на согласную, не склоняются (к Любови Дмитриевне Блок, воспоминания Надежды Мандельштам).

Определение, относящееся к двум или нескольким существительным – однородным членам, ставится в форме единственного числа, если по смыслу сочетания ясно, что определение относится не только к ближайшему существительному, но и к последующим. Таким образом, верно: защищать свою честь и достоинство.

Глагол становиться требует от зависимого слова формы творительного падежа (становиться чем?). Местоимение нечто имеет только формы именительного и винительного падежа, формы творительного падежа у этого слова нет. Поэтому такое сочетание невозможно.

В случае если дополнение при переходном глаголе с отрицанием выражено отвлеченным существительным, оно обычно используется в форме родительного падежа: Переоформления договоров с использованием нового наименования организации не требуется.

Однако это не строгая рекомендация.

Можем предположить, что различие в ударении связано с происхождением этих слов из соответственно русского и церковнославянского языка. Точно скажут историки языка.

Возможны варианты. 

Род несклоняемых существительных, обозначающих географические собственные имена (названия городов, рек, озер, островов, гор и т.д.), определяется по грамматическому роду нарицательного существительного, выступающего в роли родового понятия (т.е. по роду слов город, река, озеро и т.д.), например: солнечный Тбилиси (город), широкая Миссисипи (река), полноводное Эри (озеро), труднодоступная Юнгфрау (гора), живописный Капри (остров). Отступления от правила объясняются влиянием аналогии, употреблением слова в другом значении, тенденцией относить к среднему роду иноязычные несклоняемые слова на -о, например Северное Борнео.