Согласно «Большому толковому словарю русского языка» под редакцией С. А. Кузнецова, клиент – 1) лицо или учреждение, пользующиеся услугами адвоката, нотариуса, банка и т. п. (Клиенты сберкассы); 2) постоянный покупатель, заказчик, посетитель (Клиент всегда прав).

Правило следующее: пишутся слитно прилагательные, образованные из основ слов, отношение между которыми носит подчинительный характер: верхнесалдинский (от Верхняя Салда), нижнетагильский (от Нижний Тагил).

Пунктуационные ошибки есть. Кроме того, рекомендуем писать сначала имя, потом фамилию. (А если это официальный документ, то указываются имя и отчество, а не только имя.) Также обратите внимание, что учащихся вузов обычно называют студентами, а не учениками.

Корректно: Вас беспокоит Мария Иванова, мама студентки 5 курса факультета экономики Карины Ивановой.

Кажется странным считать ошибкой сочетание Алексей Максимович Горький в сочинении, с учетом того факта, что такое сочетание нередко встречается в прозе и публицистике XX века, а кроме того, один из известнейших вузов Москвы носит название Литературный институт имени А. М. Горького. Но лучше не рисковать: вдруг Вам попадется слишком строгий проверяющий? 

В таком случае надо выбрать вариант уплатить за проезд. Уплатить без предлога употребляется только со словами, так или иначе обозначающими некую сумму денег: уплатить долги, уплатить штраф, уплатить взнос. Сочетание уплатить проезд неправильно.

Слово шелом, которое отмечено в русских говорах в значениях «навес», «конек» и др., восходит к др.-рус. слову шеломъ «шлем», как Вы справедливо написали, с полногласием.
Как и ст.-сл. шлѣмъ (с тем же значением «шлем», но с неполногласием), заимствованное в русский литературный язык, оно, в свою очередь, восходит к праслав. *šelmъ, которое было заимствовано из др.-герм. *helmaz первоначально в виде *xelmъ. Еще до развития полногласия в этом слове начальный твердый заднеязычный *х перешел в мягкий *š́ в
результате праславянского фонетического изменения, известного как первая палатализация, что, видимо, было вызвано сугубой твердостью (сильной веляризацией) др.-рус. *l (=[ɫ]). Накануне возникновения полногласия в древнерусском языке происходило еще одно фонетическое изменение: *el в положении между твердыми согласными переходил в *ol. Так, псл. *melko давало в др.-рус. сначала *molko, из которого позднее в процессе развития полногласия появлялось др.-рус. и совр. рус. молоко (ср. псл. *xoldъ, *gold, *golva > холод, голод, голова и т. п.). В слове же *š́elmъ изменению *el > *ol мешала мягкость предшествующего /š́/, в то время как развитию вставного /о/ после она не
мешала. Отсюда и получилось др.-рус. шеломъ, а не шоломъ: псл. *xelmъ > *š́elmъ > шеломъ. Форма с о поcле ш – шолом – также могла появиться в говорах русского языка, но это происходило позднее и было связано уже с другим изменением – переходом /е/ в /о/ перед твердыми согласными.