Эти прилагательные образованы от разных существительных:

МЕТОДИКА, -и; ж. [от греч. methodikē - правила речи] чего. 1.Совокупность методов, приёмов практического выполнения чего-л. М. научного исследования. М. сварки труб большого диаметра. 2.Раздел педагогики, рассматривающий методы преподавания учебных предметов, воспитания кого-л. М. преподавания истории.М. дошкольного воспитания. <Методический (см.). 

МЕТОДОЛОГИЯ, -и; ж. [от греч. méthodos - метод и lógos - учение] чего и с опр. Методы, приёмы, используемые при познании чего-л. и объединённые общей целью, задачей и т.п. М. описания истории. Материалистическая м. <Методологический, -ая, -ое. М-ие приёмы. М-ая позиция. Методологически, нареч. М. точно отразить явление. 

Такого правила нет. Некоторые наименования, включающие слово суд, зафиксированы в академическом словаре: 

Сложносокращенным называется сложное существительное, образованное без соединительной гласной, в котором усечение одной или обеих его частей осуществляется безотносительно к морфемному членению слова.

Сложносокращенное слово вуз (высшее учебное заведение) состоит из трех усеченных производящих основ: «Эти части являются сокращенными, усеченными символами целых слов и только так воспринимаются в современной языковой практике» (В. В. Лопатин, И. С. Улуханов «О некоторых принципах морфемного анализа слов (к определению понятия сложного слова в современном русском языке) // ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК СССР (отделение литературы и языка), 1963, том XXII, вып. 3). 

Эта трактовка структуры слова вуз отражена в «Словообразовательном словаре русского языка» А. Н. Тихонова.

Обстоятельство в Москве само по себе достаточно конкретно, а потому не нуждается в уточнении, следовательно обстоятельства на Красной площади и на улице Мира не требуют обязательного обособления. В то же время подобные обстоятельства можно счесть уточняющими и прочитать предложения с соответствующей интонацией. Таким образом, в этих случаях постановка запятых факультативна и зависит от того, что́ автор хочет акцентировать. Сравним подобные примеры, допускающие двоякое прочтение, в учебном пособии А. Ф. Прияткиной «Русский язык: Синтаксис осложненного предложения» (М., 1990): Это случилось в одной гористой местности (,) на юге Италии; На берегах этих рек (,) в глубоких норах (,) живут водяные крысы (с. 75).

Корректно со строчной в кавычках: «черная пятница».

Конечно. Ортодоксальный - 'последовательный, неуклонно придерживающийся основ какого-либо учения, мировоззрения'.

Пропаганда – распространение и углубленное разъяснение каких-л. идей, учения, знаний среди широких масс населения.

Рекомендация о дублировании знака переноса приводится только в полном академическом справочнике «Правила русской орфографии и пунктуации» под редакцией В. В. Лопатина. Это авторитетный источник, ссылка на него достаточно убедительна. Условия дублирования знака переноса в справочнике описаны так: «При переносе может потеряться различие между написаниями слов слитно и через дефис; ср.: военно-/обязанный (пишется военнообязанный) и военно-/морской (пишется военно-морской). Для сохранения различия надо во втором случае повторить дефис в начале перенесенной части: военно-/-морской. Это правило применяется по желанию пишущего».

Из правила следует, что его нужно применять тогда, когда необходимо показывать разницу между дефисными и слитными написаниями. Прием может быть полезен, например, в учебной и справочной литературе.