Название «э оборотное» – старое, традиционное название буквы Э, оно соотносит начертание буквы с «перевернутой» кириллической буквой Е. Сейчас при перечислении букв русского алфавита добавлять слово «оборотное» необязательно.
Если это не название какого-либо культурного мероприятия, приуроченного к Рождеству (ср.: «Рождественские встречи»), правильно написание строчными: рождественские дни. Но: Рождественская ночь, Рождественский сочельник.
Правильно: Федерация бокса России (в том числе в середине предложения).
Слово "заявление" в шапке документа обычно пишут с большой буквы (как заголовок).
Корректно: День труда, День молодежи, но День Победы, День Конституции (так как в этих случаях имеются в виду конкретное историческое событие и конкретный документ).
Правильно: Я гуляю по Луне. Слово Луна употреблено как название космического объекта.
О написании марок автомобилей см. «Письмовник».
Корректно написание со строчной буквы.
Как правило, пишется строчными.
Слово луна не употребляется здесь в терминологическом значении, поэтому пишется строчными: ничто не вечно под луной.
