Правильно: зиждется, зиждутся, как указано в орфографическом словаре. В «Большом орфоэпическом словаре русского языка», к сожалению, допущена опечатка.
Лучше: считает.
Правильно: Мы большая компания, и нам есть что показать.
Какая она, самая большая орхидея в мире?
Запятая перед и не нужна, поскольку части предложения объединены вопросительной интонацией.
Запятая перед тире нужна, она закрывает придаточное предложение.
Правильно: страны Старого Света.
На наш взгляд, оборот тесно связан со сказуемым, поэтому выделение не нужно.
Запятая нужна. Пропуск запятой при двукратном повторении союза возможен только в случае употребления союза и (например: Кругом было и светло и зелено); в сочетаниях с союзом ни... ни... запятая не ставится только тогда, когда сочетание фразеологическое: ни то ни сё, ни себе ни людям и т. п. См. об этом параграф 26 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.
