Основа главного предложения: Муму не ходила и оставалась. Запятая между однородными сказуемыми не ставится.

Корректно: 2022—2024 гг. — углубленная программа подготовки; 2022 г. — наст. вр. — углубленная программа подготовки.

Корректно: это были 3 часа дня.

Корректно: Виа Латина. Словарь «Прописная или строчная?» В. В. Лопатина, И. В. Нечаевой и Л. К. Чельцовой указывает: «Виа, нескл., ж., употр. в названиях улиц итальянских городов, напр.: Виа Национале, Виа Олимпика».

Правильны оба варианта. Строгой литературной норме соответствуют склоняемые формы типа в Гукове.

Да, вводные обороты нужно выделять и в том случае, если они стоят в конце предложения.

Указанная запятая может быть поставлена, если сочетание в другую сторону рассматривать как присоединительную конструкцию. Однако вряд ли это сочетание содержит «разъясняющее добавочное сообщение», оно здесь важно, и его отделение запятой действительно неуместно.

Во-первых, в этом предложении нет частицы уже, а есть наречие уже.

Частица уже употребляется:
1) при подчеркивании значительности количества или продолжительности чего-либо ◆ Он не спал уже вторую ночь. ◆ Гостья выпила уже четвёртую чашку чаю;
2) как усилительная частица для подчёркивания какого-либо слова ◆ Уже по звуку двигателя можно определить, что он неисправен.

Наречие уже употребляется:
1) при указании на окончательное совершение, наступление, выполнение чего-либо ◆ Работа уже сделана;
2) при указании на смену места, времени, обстоятельств действия ◆ Я уже не директор;
3) при указании на наличие результата к настоящему времени, на данный момент ◆ Он давно уже занимается спортом.
(Источник: Викисловарь.)

Легко видеть, что в этом предложении слово уже употреблено во втором значении наречия.

Во-вторых, конкретного правила, которое регулировало бы случаи отнесенности наречия уже к одному из однородных сказуемых или к ним всем, конечно, не существует. Но существует простая закономерность: это наречие включает в сферу своего действия всё, о чем не сказано иного. Примерно так же ведет себя и еще.

Я еще молодая и красивая = я еще молодая + я еще красивая.

Я уже немолодая и некрасивая = я уже немолодая + я уже некрасивая.

А вот если о человеке нужно сказать, что он уже немолод, но по-прежнему хорош собой, придется подчеркнуть, что сфера действия уже на вторую характеристику не распространяется, и перед второй характеристикой неизбежно появится специальное средство:

Он уже немолод, но (всё) еще хорош собой.

БЛАГОСЛОВЕ́ННЫЙ — Высок. Достойный благословения, похвалы, благодарности; счастливый, прекрасный. Б. край. Б-ая земля. Б-ое время юности! Красота благословенна! * Благословен и день забот, Благословен и тьмы приход! (Пушкин).

БЛАГОСЛОВЛЁННЫЙ — причастие от БЛАГОСЛОВИ́ТЬ; св. 1. кого. Перекрестить (рукой, крестом, иконой), произнося слова молитвы, напутствия, пожелания благополучия, успеха. Б. детей перед сном. Б. молодых под венец. Благослови тебя Бог! Б. на дорогу (отправляя в путь). 2. кого на что или с инф. Выразить своё согласие, одобрение; напутствовать, желать благополучия. Б. на ратный подвиг. Б. на добрые дела. Б. преданно служить науке. * Старик Державин нас заметил И, в гроб сходя, благословил (Пушкин). 3. кого-что. Высок. Воздать хвалу, благодарность. Б. судьбу. Б. Господа Бога за исцеление. 4. кого чем. Шутл. Ударить. Б. палкой по спине.