К сожалению, каких-либо общих рекомендаций на этот счет нет. По-русски принято писать точку после графических сокращений, поэтому лучше: Л. Л. Кул Дж. и т. п.

Вы спрашиваете о синтаксическом разборе, поэтому аргументы из области того, что говорящий имеет в виду, недействительны. Говорящий своим ответом в самом деле сообщает о том, где кот, но делает это косвенным образом, полагая, что слушающий поймет: раз кот ест — значит, он на кухне у своей миски. Но это вывод слушающего из того, что сказано, и подменять собой члены предложения подобный вывод не может. Безусловно, ест — сказуемое.

Кстати, подобная экономия речевых усилий может быть и небезобидна. Если участники диалога находятся в некооперативных отношениях, то ответная реплика «Ест» может ввести собеседника в заблуждение: тот может подумать, что кот мирно ест из своей миски свой сухой корм, а на самом деле кот может доедать котлету, которую он утащил со сковородки собеседника (я с подобными разбойниками знаком, и о таких котах великолепно писал Паустовский). Последствия недоговоренности в таком случае могут быть весьма неприятны.

У слова оттепель есть формы множественного числа. Многочисленные примеры из художественной литературы подтверждают это: Зима, как неприступная, холодная красавица, выдерживает свой характер вплоть до узаконенной поры тепла; не дразнит неожиданными оттепелями и не гнет в три дуги неслыханными морозами... И. Гончаров, Обломов. Зима в этом году упала симпатичная: пушистая, с милым характером, без гнилых оттепелей, без изуверских морозов... А. Макаренко, Педагогическая поэма. А еще помню я много серых и жестких зимних дней, много темных и грязных оттепелей, когда становится особенно тягостна русская уездная жизнь, когда лица у всех делались скучны, недоброжелательны, ― первобытно подвержен русский человек природным влияниям! К. Паустовский, Золотая роза.

Да, ошибки присутствуют.

В данном предложении запятая не нужна (только в этом случае обстоятельство через десять дней будет относиться как к предложению решение вступает в силу, так и к предложению договор считается расторнутым). 

Между цифрами ставится тире без пробелов: 2–3, 20–30. Если числа обозначены словами, то есть два варианта. Если между словами можно вставить или, пишется дефис без пробелов: два-три (два или три). Если можно заменить на от... до. ставится тире с пробелами: четыре – шесть (от четырех до шести). В случае с соединительным тире (например, поезд Москва – Одесса) ставится тире с пробелами.

Супер... - приставка, пишется слитно. Правильно: супермама, супершоколад, суперконфета.

Запятая после обстоятельства в моем гардеробе не требуется. 

Оба варианта возможны.