Запятые нужны, это вводное сочетание.
Да, склоняются: на р. Оке.
Названия полярных станций заключаются в кавычки: на станции "Новолазаревская".
Выражение операция на глаза встречается в разговорной речи, но общеупотребительным является вариант операция на глазах, используемый и в профессиональном языке.
Нет, не верно. Предпочтительно: контроль за соответствием хода работ проектным решениям.
Верно: не возражать против подключения.
Вы правы: на пляже отдыхают, загорают, а купаются в воде. Распространенность сочетания купание на пляже, видимо, можно объяснить тем, что пляж в этом случае широко понимается как в целом место для отдыха, где есть и песок, и какая-то вода (река, море и др.). Представляется, что такое сочетание можно признать допустимым в непринужденной речи, но не в образцовом употреблении.
