Окончание -У (Ю) встречается у ограниченного числа существительных в форме локатива (предложного падежа со значением "места действия"): в лесу, в порту, в углу, на боку, в раю и некоторые другие. Причины подробно излагаются в "Википедии".
Следует склонять все слова, входящие в состав этого топонима: житель Северного Рейна – Вестфалии. Однако при наличии родового слова склонение не требуется: житель земли Северный Рейн – Вестфалия.
См. в рубрике "Письмовник" на нашем портале: Особенности склонения фамилий и личных имен.
См. Склонение существительных в учебнике Е. И. Литневской.
Правильно: в условиях чего? См. Склонение существительных в учебнике Е. И. Литневской.
Мужская фамилия Кая (как фамилии, оканчивающиеся на -я с предшествующей гласной, кроме и) склоняется следующим образом: Кая, Каи, Кае, Каю, Каей, о Кае.
См в учебнике Е. И. Литневской Склонение существительных во множественном числе.
Лучше: открытие Vexx в столице.
В данном случае рекомендуем не склонять.
См. склонение существительных в учебнике Е. И. Литневской.
