Вариант сделай покупку на день рождения имеет значение "в качестве подарка, в честь дня рождения". Так что, если имеется в виду, что покупку нужно сделать в течение дня рождения, а не в честь него, следует писать: в день рождения.
См. ответ на вопрос № 254443.
Оба варианта грамматически корректны.
Правильно: приглашает Вас на свой день рождения.
Оба варианта правильны, выбор зависит от задач автора, см. ответ на вопрос № 276520.
Корректно: мой день на гастролях, мой день во время гастролей.
Это не плеоназм. Беременными могут быть животные. См., например: Священны поэтому гнезда птиц, священны беременные самки; если охотнику досталась таковая ― он обязан «отпустить ее Артемиде» (Ф. Ф. Зелинский. Древнегреческая религия).
Действительно, нужно выбрать какое-то одно слово.
