Этот пример из учебника не вполне корректный, потому что определения вековые и могучие можно считать неоднородными (первое указывает на возраст, второе – на силу, величину) и не разделять запятой, но вполне можно рассматривать и как однородные, взаимосвязанные (вековые деревья обычно могучие; такая сила и величина этих деревьев обусловлена их возрастом). Многое зависит и от интонации. Поэтому возможны варианты пунктуации. Разнобой в ответах устранен.

Одежду (и спецодежду) можно носить, надевать снимать, но не использовать.

По первому предложению: конечно, тире можно не ставить, ссылаясь именно на этот пункт правил. Но если вчитаться в него, то мы заметим, что в нем говорится о вводном слове, но не о вводной конструкции, которая здесь довольно сильно распространена. Тире предпочтительно оставить именно по этой причине: оно ясно сигнализирует о том, что оговорка завершена и сейчас последует сказуемое. В противном же случае различие можно воспринять как однородный член к рознь. Конечно, дочитав предложение до конца, читатель поймет, что это не так, но создавать ему такие дополнительные затруднения ни к чему.

По второму предложению: полагаем, что здесь сочетание запятой и тире является эквивалентом двоеточия. См. ПАС, § 130, прим. 1. Перед нами бессоюзное сложное предложение (каждая часть его представляет собой, в свою очередь, СПП), так что положение этого примечания здесь вполне применимо.

По третьему предложение: это тоже бессоюзное сложное предложение, тире ставится по п. 5 того же параграфа ПАСа.

Возможны такие варианты:

Удивляют соседи, — с одной стороны, понимающие важность раздельного сбора мусора, а с другой стороны, ничего для этого не делающие.

Удивляют соседи, — с одной стороны, понимающие важность раздельного сбора мусора, а с другой — ничего для этого не делающие.

Радуют соседи, — во-первых, сами понимающие важность раздельного сбора и, во-вторых, агитирующие других разделять мусор.

Он удивил меня, — во-первых, поздоровавшись с собакой, а во-вторых, кивнув головой коту.

Во всех приведенных вами предложениях слова автора следует начинать с прописной буквы, поскольку все они образуют отдельное предложение. В последнем предложении (если это одно предложение) пропущена запятая: Зачем так официально — «Наталья Борисовна!», «Наташа» вполне подойдёт. Но лучше разделить это предложение на два: Зачем так официально — «Наталья Борисовна!»? «Наташа» вполне подойдёт. Необходимость постановки восклицательного знака вызывает сомнения.

Вместо запятых лучше поставить точку с запятой.

Такое разделение возможно, но в конец первого предложения лучше добавить слово следующее: Организация... сообщает следующее. У Организации отсутствуют...

Запятая между определениями ставится, если второе из них поясняет первое (между ними можно вставить союз то есть или а именно): новые, а именно пластиковые конструкторы. Если запятую не поставить, получится, что были старые пластиковые конструкторы, а потом появились новые пластиковые конструкторы.

Полагаем, что разделять инициалы пробелами в ссылках нужно (если нет технических препятствий к этому). Прямых указаний об оформлении инициалов в ГОСТе о библиографических ссылках нет, при этом в ГОСТе о структуре и правилах оформления диссертации и автореферата диссертации инициалы отбиваются пробелами. Так же, с пробелами, оформляются инициалы в «Справочнике издателя и автора» А. Э. Мильчина и Л. К. Чельцовой. В тексте и сносках инициалы должны быть оформлены одинаково. 

Вы расставили знаки правильно. На стыке союзов но чтобы в начале предложения запятая не ставится. Придаточные части, соединенные союзом и разделять запятой не нужно, так как они однородны. Обратите внимание, из предложения нужно убрать лишнее слово: Но чтобы решить, являются ли они таковыми и можно ли без них обойтись, по-прежнему нужен человек или Но чтобы решить, точно являются они таковыми и можно ли без них обойтись, по-прежнему нужен человек.