Грамматически обе фразы верны, Вам нужно выбрать подходящий вариант в зависимости от Вашего контекста.

Выбор написания зависит от контекста и авторского замысла. Если стоит задача передать на письме бытовую, непринужденную речь, такое написание (строчными и без кавычек) уместно. Если контекст выходит за рамки обиходно-разговорного, понадобятся кавычки и прописные буквы.

Да, такая форма деепричастия возможна. Например: Впрочем, научась в один день наблюдать ее страшную проницательность, я видел, что... [Н. С. Лесков. Детские годы (1874)]; Если, научась ремеслам и искусствам, вы обольститесь приманками роскоши европейской, вспомните только, чем занимался Петр [Д. Н. Каралис. Дневник (2009)] и т. п. 

В справочниках можно найти лишь информацию о постановке знаков препинания при союзе в том числе в случаях, когда союз имеет значение ‘включая что-либо, кого-либоʼ и начинает присоединительный оборот, то есть когда в предложении названо то целое, частью которого является присоединяемое с помощью в том числе. Случаи, когда союз лишь показывает, что помимо того, о чем говорится в предложении, подразумевается что-то еще (то есть ‘не только, но и’), в справочниках не рассмотрены. Об этом пишет М. М. Харченко в статье, посвящённой нерешённым проблемам современной пунктуации. В статье приводятся примеры из текстов публицистического и официально-делового стилей, аналогичные приведённым Вами. Судя по ним, в практике письма встречаются разные варианты постановки знаков препинания при таком «самостоятельном» в том числе.

Очевидно, здесь играет роль не само по себе наличие в том числе, а какие-то другие факторы. Так, в первом из примеров логическое ударение несёт на себе сочетание снижает эффективность работы указанных сотрудников, а то, что начинается с в том числе, служит добавочным замечанием, то есть представляет собой присоединительный оборот: ...текущий размер мониторов снижает эффективность работы указанных сотрудников, в том числе при выполнении ими ключевых задач предприятия. Во втором же примере логическое ударение приходится на часть, которая начинается с в том числе (и), что не предполагает обособления оборота: ...уничтожение молодых зеленых насаждений происходит в том числе и по причине чрезмерной охоты на хищников.

Отметим, что употребление оборота с «самостоятельным» в том числе во многих случаях выглядит стилистически неудачным – см., например, ответ на вопрос 308092.

Тире ставится: Без дела жить – только жизнь прожигать. Правило, о котором Вы говорите, не распространяется на те случаи, когда сказуемое выражено инфинитивом.

Вы верно заметили: добавление отрицания превращает двусоставное предложение с грамматической основой документ существует в односоставное безличное (есть особая разновидность предложений — безличные отрицательные) с грамматической основой не существует. 

Правильно: В здании, являющемся памятником архитектуры...

Правило очень простое. В предложном падеже пишется окончание -ем- (в здании, каком? – являющемся). А окончание -им- пишется в творительном падеже (зданием, каким? – являющимся). Например: встретились рядом со зданием, являющимся памятником архитектуры; с тигром, являющимся хищником, шутки плохи.

Лучше: Этого не бывает.

Поставленная Вами запятая нужна.

Конечно, профсоюз следует писать со строчной. К сожалению, многие убеждены, что написание с прописной буквы придает слову важность, значимость (нередко и сочетание генеральный директор пишется с прописной – он же генеральный!), хотя на самом деле такое употребление прописной буквы является просто орфографической ошибкой.