Правилен первый вариант.
Первый вариант предпочтителен.
Более употребительно: рюмка коньяка.
Трудно дать однозначный ответ, не зная контекста. Если это прозвище доктора, которое функционирует как имя (в том числе, например, имя персонажа художественного произведения), правильно писать оба слова с прописных, например: «Вот и всё», — сказал Умелые Руки, закончив перевязку. Если же речь о том, что доктор умелец, корректно строчными, например: Василий у нас доктор «умелые руки», советую к нему обратиться. Ср. также: доктор у нас умелые руки.
Рекомендуемый вариант: на реке Пра (хотя на реке Оке). Поскольку наименование не относится к числу широкоизвестных, из сочетания на реке Пре нелегко вывести его начальную форму.
Названия рек согласуются с родовым наименованием: на реке Мзмыте.
