Да, редукция в этом случае происходит. Звук э может находиться только в ударной позиции; попадая в безударную, он редуцируется. В школе обычно этот безударный звук называют звуком [и], хотя правильнее говорить о некотором промежуточном звуке между [и] и [э]. Его называют и с призвуком э и обозначают так: [иэ]. Ср.: тема [т'э] – тематический [т'иэ], о враче [ч'э] – о тысяче [ч'иэ].
Знаки препинания расставлены верно.
Как собственное наименование объекта в Сочи - с большой буквы: Олимпийский парк.
Да, это однородные приложения. Запятая нужна.
Правильно: ГАУК «Театр» заключило договор. Согласование — с родовым словом, в данном случае с опорным словом аббревиатуры (учреждение... заключило). Ср.: кинотеатр «Победа» был построен (не была построена), партия «Яблоко» была основана (не было основано).
Мужские фамилии Пак и Король склоняются, женские – нет.
Правильно сокращение к. м. н.
Да оба слова пишутся с большой буквы: Лосиный Остров.