Это непростой случай, от изменения окончания будет изменяться смысл.

Доля = часть чего-либо. Например: доля наследства = часть наследства, доля квартиры = часть квартиры. 1/2 доля квартиры (одна вторая доля квартиры) = то же, что одна вторая часть квартиры, половина квартиры. По 1/2 доле квартиры (по одной второй доле квартиры) = по одной второй части квартиры, по половине квартиры. Например: при разводе каждый из супругов получает по одной второй доле квартиры (= по одной второй части, по половине, т. е. квартира делится между супругами пополам).

1/2 доли = одна вторая (чего?) доли, т. е. половина чьей-то доли (а сколько составляет сама доля – из этой формулировки неизвестно). По 1/2 доли квартиры (по одной второй доли квартиры) = по одной второй ОТ чьей-то доли, чьей-то части в этой квартире (а не по половине квартиры!).

Надо сказать, что использование в юридических текстах формулировок 1/2 доля квартиры (дома и т. д.) существенно усложняет восприятие текста. Было бы лучше, если бы закрепилось написание 1/2 квартиры, 1/2 дома (т. е. слово доля здесь явно лишнее).

Правильно: прошла половина лета.

Корректно: вторая половина XI в. - XIII в.

Пол- (половина) с последующим родительным падежом существительного пишется слитно, если существительное начинается с согласной буквы (кроме л).

Слово поллитровка пишется слитно, т. к. вторая часть его не является существительным в форме родительного падежа.

Разнобоя нет, есть четкое правило дефисного и слитного написания. Пол- (половина) пишется через дефис с последующим родительным падежом существительного, если существительное начинается с гласной буквы или согласной л, например: пол-оборота, пол-яблока, пол-лимона, но: полметра, полчаса, полкомнаты; через дефис пишутся также сочетания пол- с последующим именем собственным, например: пол-Москвы, пол-Европы. Слова, начинающиеся с полу-, всегда пишутся слитно, например: в полуверсте от города, полустанок, полукруг.

Вы имеете в виду пол в значении "половина"?

Грамматических ошибок нет. Но нужно поставить запятую: Заглядывая в новогодные посты в блогах, заметил, что примерно половина людей пишут название праздника с ошибкой.

Происхождение слова полено точно не установлено; ученые предполагают, что оно связано с древнерусским глаголом полети 'гореть' того же корня, что пылать, палить, пламя. Есть также версия (не разделяемая, впрочем, многими лингвистами, в т. ч. М. Фасмером), что полено происходит от пол 'половина', т. е. полено 'расколотое бревно'. Сейчас слово полено можно назвать словарным, проверяемым по орфографическому словарю.

По сравнению с тем временем, когда В. И. Даль работал над словарем (вторая половина XIX века), – конечно, изменились. Тогда нормативным было написание с двумя Н, но вот уже более полувека единственно правильным является написание с одной Н: ветреный человек. По словарю Даля нельзя проверять орфографию современного русского языка.