Верно: у меня появилось несколько вопросов.
При обратном порядке слов (подлежащее после сказуемого) предпочтительно единственное число: Возможно несколько вариантов.
Оба варианта правильны. При наличии в количественно-именном сочетании слова несколько возможна постановка сказуемого как в форму единственного, так и в форму множественного числа.
Слово несколько является местоименным числительным и обозначает, как сообщают словари, неопределенное количество чего-либо; см. описание слова несколько в «Большом толковом словаре русского языка» (гл. ред. С. А. Кузнецов). Следовательно, фраза в несколько раз подразумевает варьируемое количество. Если читателю по какой-либо причине потребовалось уточнить это количество, то нужно поискать подсказки в контексте, возможно, они обнаружатся. Автору текста, намеренному быть точным в выражении своих мыслей, подобные фразы использовать не рекомендуется.
Возможны варианты: несколько ставен и несколько ставень.
Лучше: проходит несколько дней.
В зависимости от значения несколько может быть наречием: я несколько успокоился и местоименным числительным: уехать на несколько недель.