Склонять нужно мужскую фамилию Гармаш. Женская фамилия не склоняется.
1. Это вопрос не столько практической грамотности (орфографии), сколько типографики, технического оформления текстов при подготовке к печати, публикации. Разделение кавычек на русские и английские соответствует типографской традиции.
2. Кавычки используются для выделения условных имен собственных. Если Вы пишете условные имена собственные прописными буквами (что, впрочем, не соответствует никаким орфографическим рекомендациям), то использовать дополнительное выделение - кавычками - нет необходимости. Иначе получается "избыточное выделение".
Правильно: забирать из школы.
Кавычки здесь не нужны.
Верно: Президент поручил кабмину (Правительству).
Это не является ошибкой. Например, можно написать: В зоопарке содержится более 200 видов рептилий, напр.: черный кайман, обыкновенная игуана, крокодиловый кайман.
Верно: надевать бахилы.
