Правильно: сеть кофеен.
Запятая не нужна.
Правила русского языка не регламентируют ударения в искусственно образованных условных названиях, лучше спросить у владельцев компании.
Использование формы мн. ч. корректно.
Корректно: подключение к сети.
Смысл в том, что служб несколько и они образуют сеть? Или у ветеринарной службы (одной) есть сеть филиалов?
Такой вариант корректен.
Верно: управляющий сетью пиццерий.
Выбор между запятой и тире в бессоюзном сложном предложении (а здесь именно такие конструкции) зависит от того, какой смысл хочет выразить автор. Если он утверждает существование связи, управления и т. д., то между частями возникают перечислительные отношения, требующие оформления запятой. Если же автор хочет выразить условно-временны́е отношения, обозначаемые в языке союзами если и когда, то необходимо поставить тире (см. пункт 3 параграфа 130 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина).
