См. правило:
Несогласованные определения, выраженные формами косвенных падежей существительных (чаще с предлогами), обособляются для выделения какого-либо признака или для усиления выражаемого ими значения: Холоп, в блестящем убранстве, с откидными назад рукавами, разносил тут же разные напитки и съестное (Г.); Офицеры, в новых сюртуках, белых перчатках и блестящих эполетах, щеголяли по улицам и бульвару (Л. Т.); Плескалось и шуршало море, всё в белых кружевах стружек (М. Г.); В белом галстуке, в щегольском пальто нараспашку, с вереницей звёздочек и крестиков на золотой цепочке в петле фрака, генерал возвращался с обеда, один (Т.); У многих русских рек, наподобие Волги, один берег горный, другой луговой (Т.).
Обычно обособляются несогласованные определения, дополняющие или уточняющие представление о лице либо предмете, который сам по себе (без определения) достаточно конкретен, уже известен.
В приведенном Вам предложении обособление несогласованного определения с загнутым на спину хвостом отнюдь не обязательно. Пунктуационное выделение придает ему смысл дополнительного сообщения: По наружности это — обыкновенная дворняга, но (при этом) с загнутым на спину хвостом...
Если речь идет об объединении детей, верно: о лиге детей. Если речь идет о собственном наименовании организации - "Лиге детей". Лучше: по дороге (во время пути).
На наши ответы этот факт не влияет.
Вы написали правильно. В обоих случаях используется частица не.
Большой толковый словарь
Большой толковый словарь
1.
Категория, характеризующая предметы и явления внешнего мира со стороны величины, объёма, числа, степени развития. Ожидалось большое к. гостей. К. воды в водоёме. Небольшое к. примесей в сплавах.
2. Филос.
Определённость предметов, изменение которой осуществимо в пределах данного качества предметов. Переход количества в качество. < Количественный, -ая, -ое. К-ые отношения. К-ые методы исследования. К. состав команды сохранился. Переход количественных изменений в качественные. К-ые числительные
(обозначающие число, количество предметов). Количественно, нареч.
В отношении количества, посредством количества. К. состав групп не изменился.
ЧИСЛО, -а; мн. числа, -сел, -слам; ср.
1.
Единица счёта, выражающая то или иное количество. Дробное, целое, простое ч. Чётное, нечётное ч. Считать круглыми числами
(приблизительно, считая целыми единицами или десятками). Натуральное ч.
(целое положительное количество). Рациональное, иррациональное ч. Положительные числа. Теория чисел
(наука о целых числах). Астрономическое ч.
(очень большое).
2.
День месяца в порядковом ряду других дней. В первых числах августа. Какое сегодня ч.?
3.
Количество кого-, чего-л. В небольшом числе городов. Получить равное ч. голосов. Семья числом в пять человек. Большое ч. чего-л.; несть числа чему-л.; без числа что-л.
(об очень большом количестве, о бесчисленном множестве чего-л.).
4.
Ряд, совокупность, состав кого-, чего-л. Быть в числе первых. Попасть в ч. победителей конкурса. Назначить бригадира из числа рабочих. Включить в ч. лучших спортсменов.
5. Лингв.
Грамматическая категория, выражающая морфологическими средствами языка единичность или множественность предметов или лиц. Единственное, множественное ч. Двойственное ч. ◊ По первое число задать, получить и т.п. Разг.
О строгом наказании. Задним числом. 1.
Более ранним сроком, чем следует. Датировать справку задним числом. -2. Разг.
Слишком поздно. Спохватиться задним числом. < В том числе (и), в зн. союза.
Включая, присоединяя. Пошли все, в том числе и мы. Числовой, -ая, -ое. Ч-ая величина. Ч-ая последовательность. Ч. масштаб карт. Ч-ые данные. Численный (см.).
Написание с прописной буквы правильно.