В первом случае кавычки обязательны. В последующих вариантах постановка кавычек зависит от конкретного названия.
Различий нет, это синонимы.
Орфографический словарь
Большой толковый словарь
Правильно: Я гуляю по Луне. Слово Луна употреблено как название космического объекта.
Слово луна не употребляется здесь в терминологическом значении, поэтому пишется строчными: ничто не вечно под луной.
Нет, запятая во фразеологизме не нужна.
Чем Земля — сравнительный оборот, который появляется в качестве обязательного дополнения к прилагательному в форме сравнительной степени. У этого дополнения две вариантные формы: меньше Земли и меньше, чем Земля. Во втором случае дополнение выражено сравнительным оборотом.
Верно дефисное написание: ИК-сауна. А что такое SPA-кушетка?
Нет, запятые не нужны.
Форма мн. ч. употреблена корректно.