Да, эта фамилия склоняется.
Исторически это родственные слова, но в современном языке красный ‘цвета крови’ и красивый не являются однокоренными словами.
Правильно: стилист - специалист по украшениям.
В обоих случаях оба слова в собственном названии улицы нужно писать с прописной буквы: Красный Путь.
Это корректное сочетание, хотя лучше багажник на крышу.
Название этой организации пишется без кавычек, правильно: Красный Крест. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.
Д. Э. Розенталь рекомендовал в подобных конструкциях согласовывать сказуемое с подлежащим, а не с уточняющими (поясняющими) членами предложения: пользователь... не должен. Ю. А. Бельчиков (см. его справочник «Практическая стилистика современного русского языка» (М., 2012)) указывает, что не в официальной речи допустимо согласование с уточняющими (поясняющими) компонентами: пользователь, например взрослые и дети, не должны...