Корректно: чей день рождения и у кого-то день рождения.
Правильно дефисное написание: нам придется сегодня-завтра оставить квартиру. Но обратите внимание: сочетание не сегодня завтра пишется без дефисов.
В практике письма кавычки встречаются, но, так как сочетание уже вошло в обиход, сейчас писать его можно без кавычек.
Знаки препинания поставлены корректно.
Литературный вариант: отвезу. Свезу - просторечие.
Предпочтительно: за-втра.
Для постановки кавычек нет оснований: кавычки указывают на непривычное значение, необычное употребление слова, но значение слова завтра ''ближайшее будущее' фиксируется словарями (заглянуть бы в наше завтра!), т. е. необычным такое употребление назвать нельзя. Если же есть опасения, что при написании без кавычек читатель может не понять смысла фразы, тогда лучше ее перестроить.
Вы написали верно.
Такое употребление неверно, оценить его можно как сугубо разговорное. Корректно: повторить к завтрашнему дню.
