Словарями такое слово не зафиксировано, однако в художественных текстах изредка встречается прилагательное гаргантюанский: Он всю жизнь ощущал в себе что-то гаргантюанское [Василий Аксенов. Новый сладостный стиль (1997)].
Оборот корректен.
Лучше сказать: дни проведения, время проведения.
Правильно: о применении, дать Марии.
Путаница состоит в том, что "несладко придется" абитуриенту, а денег ему должен дать кто-то другой. Поэтому неясно, кто будет покупать билет и искать жилье: сам абитуриент или этот "другой". Возможный вариант: Абитуриенту придётся несладко. Он должен будет купить билет, найти деньги, чтобы обеспечить себя в период экзаменов, снять жильё.
Верно: дать поручение (=поручить); издать поручение (=опубликовать).
Этот оборот выделяется запятыми факультативно, в зависимости от интонационного обособления.
