Возможные варианты: Она часто задавалась вопросом: за что? и Она часто задавалась вопросом: «За что?»
В предложении не приводятся в точности сказанные кем-либо слова, а потому нет необходимости оформлять вопрос как прямую речь. Корректно оформить предложение так: Многие задаются вопросом: что лучше — истина или сострадание?
Такова традиция, собственно языковых причин нет (весть существуют, например, варианты двумерный и двухмерный).
В случаях, когда в состав подлежащего входит слово много, предпочтительна форма единственного числа сказуемого. Но форма множественного числа также допустима, поэтому ошибки здесь нет.
Возможны оба варианта, если был задан конкретный вопрос. Если вопроса не было, но поднималась определенная тема, следует выбрать вариант по данному вопросу.
Оба варианта (с предлогом и без предлога) возможны.
