Использование предлога на в этом случае невозможно: он меняет смысл предложения.
1. Корректно слитное написание в первых двух случаях.
2. Возможны оба варианта.
3. Здесь тоже возможны варианты. «Грамматический словарь русского языка» А. А. Зализняка фиксирует Сочи как несклоняемое существительное мужского и среднего рода. А согласно словарю-справочнику «Географические названия» Е. А. Левашова Сочи — неизменяемое существительное множественного числа, но рассматривается также как вариант мужской род, единственное число.
Оба варианта правильные.
Это ошибочная статья в метасловаре, она будет исправлена. Спасибо, что написали!
Верно: надеть перчатки на руки.
Такое употребление возможно.
Обычно говорят так: победили в номинации такой-то, стали победителями в номинации.
Правильно: в Древней Руси (хотя без прилагательного – на Руси).
