Распогодиться - глагол совершенного вида (что сделать?). Глаголы совершенного вида, обозначая законченное действие или действие, достигшее определенного предела, не имеют форм настоящего времени. У таких глаголов только две формы времени - прошедшее (распогодилось) и будущее (распогодится).

Мужская фамилия Хан склоняется, женская – нет. Правило таково: склоняются все мужские фамилии, оканчивающиеся на согласный (кроме фамилий на -ых, -их типа Черных, Долгих). Женские фамилии на согласный несклоняемы. Происхождение фамилии в данном случае не имеет значения.

Если это двойное название, например заголовок текста, то необходимо следующее оформление: Мастер-класс, или Калейдоскоп педагогических практик; сравним примеры в параграфе 156 Правил русской орфографии и пунктуации 1956 г. В этом случае союз или имеет пояснительное значение.

Употребительна модель столько-то дней (трудной) дороги, где слово дорога имеет значение 'путешествие, поездка'. Однако, полагаем, можно говорить и о днях трудных дорог, то есть о времени, когда пришлось пройти, проехать по множеству непростых для передвижения дорог.

Оба варианта допустимы. Однако более привычен "Можно мне мороженое?" — так как в этом случае говорящий имеет в виду конкретное мороженое, а не мороженое вообще, любое (как в варианте "Можно мне мороженого?"). 

Если при иноязычной фамилии имеются два мужских имени, то она ставится в форме множественного числа: братья Борис и Александр Гольдберги. Но при отсутствии имен: братья Гольдберг (при слове братья фамилия обычно ставится в форме единственного числа).

Фамилия австрийского физика Доплера по-русски пишется с одной буквой П (несмотря на то что в языке-источнике – с двумя). Так же пишутся и все слова, образованные от этого имени собственного. Правильно: доплерография (зафиксировано «Русским орфографическим словарем» РАН).

Если при иноязычной фамилии имеются два мужских имени, то она ставится в форме множественного числа: братья Юрий и Лев Мейендорфы. Но при отсутствии имен: братья Мейендорф (при слове братья фамилия обычно ставится в форме единственного числа).

Вопрос не имеет однозначного ответа. Исторически во всех названных словах общий корень, однако значения слов возникнуть и вникнуть утратили изначальную связь с семой "направленного движения куда-либо", этим можно объяснить невыделение приставок на синхронном уровне описания языка.

Вы имеете в виду написание о? Здесь о под ударением, никакую другую букву мы и не можем написать. Правило, гласящее, что в этом корне с чередованием перед щ всегда а, регулирует написание на месте безударного гласного.