Запятые не нужны. См. «Справочник по пунктуации».

Запятая ставится при сочетании согласованных и несогласованных определений (несогласованное определение помещается после согласованного). Верно: Сохранялась прохладная, с небольшими осадками погода.

Запятая перед словом узнать не нужна: Я выглянул в окно узнать, какая погода.

Лезгинский народный эпос — "Шарвили", имя главного героя эпоса — Шарвили. 

Корректно: Не важна погода окном (= Погода за окном не является важной) и Неважна погода за окном (= Плоховата погода за окном).

Новый год пишется с прописной только как название праздника. В значении 'наступающий год; следующий год' правильно написание со строчной: С нового года эта услуга станет коммунальной.

Обратите внимание, что первое предложение построено некорректно. Верно: В настоящее время вывоз мусора является жилищной услугой. 

Новость об «исключении» из русского языка слова из трех букв – обычная журналистская утка, об этом Вы можете прочитать, например, здесь: Gzt.ru: Журналисты напугали блогеров исчезновением слова из трех букв. Нам интересно другое: почему многие читатели поверили сообщениям об «изъятии» из языка нецензурного слова, а некоторые СМИ даже перепечатали эту новость?

На наш взгляд, это еще одно доказательство того, о чем уже неоднократно говорилось: у многих носителей языка отсутствует представление о том, чем занимаются лингвисты, как фиксируются языковые нормы и в каких лингвистических изданиях они фиксируются. Ведь одна только фраза «Институт русского языка подготовил указ об изъятии из языка слова...» в высшей степени абсурдна. Во-первых, Институт русского языка не издает указов об «изъятии» из языка того или иного слова. Во-вторых (хотя именно это должно быть «во-первых») такой указ в принципе невозможен: язык – живой организм, в котором постоянно рождаются новые варианты и отмирают старые, но отмирают естественным путем, а не «указами сверху». Да, законодательно можно установить единообразное написание того или иного слова в официальных документах (как это случилось с Паралимпиадой), можно утвердить список нормативных словарей, но нельзя изъять слово из языка.

Таким образом, для лингвистов абсурдность новости с самого начала была очевидна. Как очевидна и необходимость усиления просветительской работы – для того чтобы подобные домыслы (а псевдосенсации о различных реформах в области языка появляются в СМИ регулярно) как можно реже принимались за истину.

Если ударение в имени падает на последний слог, правильно: Алие. Личные имена восточного и иного происхождения, оканчивающиеся на ударное Я, имеют в дательном падеже окончание Е: Зульфия – к Зульфие, Алия - к Алие.